Simons Konisi’nin gizemi: Geometrinin bozulduğu gün
Özetle: Jim Simons’ın MoMath’teki konuşmasından Simons Konisi üzerine bir özet. Minimal yüzeylerin yedi boyuta kadar pürüzsüz olduğu biliniyordu; Simons sekizinci boyutta tekilliğe sahip bir örnek buldu. Bu keşif, uzun süredir kabul gören bir varsayımı yerle bir etti ve fiziğe tekillikleri incelemek için yeni bir kapı açtı.
English dilinden makine çevirisidir. Esas olan orijinalidir: Orijinalini oku.
Bu, Jim Simons'ın MoMath'teki konuşmasının bir özeti: Jim Simons at MoMath: My Life in Mathematics.
Simons bu konuşmasında modern matematiğin en büyük kırılma noktalarından birinin hikayesini anlatıyor. Birkaç zeki meslektaşıyla birlikte geometri evreninde nasıl bir çatlak bulduklarını ve yüksek boyutlarda en verimli şekillerin her zaman pürüzsüz olmadığını nasıl ortaya koyduklarını açıklıyor.
Sabun köpükleri ve pürüzsüz yüzeyler
Simons Cone'u anlamak için önce doğanın nasıl işlediğine bakmak lazım. Simons bunu, sabun köpükleriyle oynayan bir bilim insanının adını taşıyan Plateau Problemi üzerinden anlatıyor. Eline bir tel çerçeve alıp sabunlu suya batırırsan, oluşan o sabun filmi minimal bir yüzeydir. Çerçevenin üzerini mümkün olan en küçük alanla kaplar. Matematikçiler yüzyıllar boyunca bu verimli yüzeylerin hep pürüzsüz olduğuna, yani bir top ya da dalga gibi hatasız yuvarlandığına, üzerinde sivri köşeler veya çıkıntılar barındırmadığına inandılar.
Yaşadığımız üç boyutlu dünyada bu sabun filmleri her zaman pürüzsüzdür. Matematikçiler de bu kuralın bizim göremediğimiz boyutlarda da geçerli olduğunu kanıtladılar. 2, 3, 4, 5 ve 6 boyutta her minimal yüzey pürüzsüzdür; sonunda 7. boyut için de kanıtlandı. O noktada çoğu matematikçi bunun evrensel bir kanun olduğunu düşündü. Yani boyut sayısı ne olursa olsun, en verimli şekil her zaman pürüzsüzdür dediler.
Sekizinci boyut
Simons 8. boyuta geçildiğinde ne olduğuna baktı ve matematik dünyasını şoke eden bir sonuçla karşılaştı. Bugün Simons Cone olarak bilinen şekil, tamamen verimli ve olabilecek en az alanı kaplıyor ama pürüzsüz değil. Tam ortasında bir tekillik var. Uçları birbirine değen iki koni düşünün. Simons'ın kendi ağzından: "Meğer sihirli sayı yedimiş. Yedi boyuta kadar alan küçülten çeşitlilik pürüzsüz. Ama sekizinci boyutta Simons Cone denen bir şey var... orijinde bir tekilliği var ve buna rağmen alan küçültüyor." [00:05:10]
Neden önemli?
Bu sadece bir matematik gerçeğinden ibaret değildi. 50 yıllık bir varsayımı yerle bir eden bir karşı örnekti ve üç sebepten dolayı önemli. Birincisi, işler karmaşıklaştıkça, yani boyut veya değişken sayısı arttıkça verimliliğin artık pürüzsüzlük gerektirmediğini gösterdi. Yüksek boyutlu uzayda en mükemmel ve verimli şekil sivri ve pürüzlü olabiliyor. İkincisi, matematikte bir uçurum buldu. 7 boyuta kadar her şey bir şekilde işliyor ama 8. boyutta oyunun kuralları tamamen değişiyor. Üçüncüsü, matematikçilere ve fizikçilere tekillikleri, yani matematiğin koptuğu veya sonsuza gittiği noktaları incelemek için yeni bir yol sundu. Bu da kara delik fiziği ve sicim teorisi gibi konularda çok önemli hale geldi.
Simons'ın bu işten çıkardığı ders
Simons bunu saf bir estetik keşif anı olarak görüyor. Para kazanmaya ya da bir şifre kırmaya çalışmıyordu, geometride güzel bir hakikatin peşindeydi. Yedinin sihirli sayı olduğunu bulmanın heyecanından bahsediyor ve doğanın böyle tuhaf, gizli sınırları olduğunu söylüyor. Bunu bir de sürüye uymama dersi olarak okuyor. Herkes pürüzsüzlüğün sonsuza kadar sürdüğünü kanıtlamaya çalışırken, Simons kimsenin bakmadığı yere baktı ve teorinin çöktüğü o noktayı buldu.
Simons Cone bugün hala geometrinin en ünlü objelerinden biri. Yüksek boyutlu uzayın sandığımızdan çok daha tuhaf olduğunu gördüğümüz o anın simgesi. Simons için bu, matematiğin derinlerine yeterince kazarsan, hem korkutucu derecede karmaşık hem de güzel yapılar bulacağının kanıtı.
